听:数学家主席艾米丽Riehl办公室深入数字的含义
薰Kitao讲座2019
主席艾米丽Riehl办公室助理教授在约翰霍普金斯大学数学系,最近发表了2018年Kitao斯沃斯莫尔学院的讲座。最佳线上娱乐Riehl参加哈佛大学本科阶段的学习和在范畴论也完成了博士后。她的论文涉及几何艺术表明,圣彼得斯广场装饰和联锁的圈子里,不是一个椭圆。这个交互式对话旨在证明乘法的分配律之外(b + c) = ab + ac和问题数字意味着什么。
”范畴论是什么,大多数研究的数学家会知道它是语言发展中一些非常抽象的概念,但它也是一套证明技术,”主席说Riehl办公室。“这些证据技术就像魔术,你可以在各种各样的数学环境中部署。我想教你一些魔术今天你会希望在未来看到他们。”
Kitao讲座,命名,赋予艺术历史的退休教授薰Kitao,在其第七年邀请演讲者领域的数学和统计数据。
音频记录:
演讲者1:下午好。我是艾米·约翰逊。我的数学和统计部门的主席。我想欢迎你来到第七届Kitao讲座。我想回答你的问题,什么是Kitao讲座吗?这是一个特殊的一年一次谈话。它支持一个慷慨的请求来自薰Kitao的退休教授艺术史在斯沃斯莫尔学院。最佳线上娱乐一点背景Kitao教授,她来到美国从日本二战后。她从加州大学伯克利分校本科学位在建筑。然后她做了一个哈佛大学艺术史博士学位并最终来到斯沃斯莫尔学院。最佳线上娱乐 Taught here from the 1960s to 1990s. Upon her retirement she endowed various funds and one of which is for what we now call the Kitao Lecture.
现在,你可能会问为什么?她是一个艺术历史学家。数学要做什么?一般来说,她想要鼓励学生在学习课程。真正的文科教育。特别是,鉴于一些她自己的工作,比如她的论文,已与几何参与艺术。例如,她在论文研究[00:01:30柏妮丝]圣彼得斯广场和显示部分的装饰和联锁圆和椭圆不像以前的想法。所以你可以看到它是如何发挥作用。于是她同样想这些十字路口对面的学科价值。我想公开感谢Kitao教授她支持这节课然后我将地板移交给我的同事他们介绍我们的演讲者。
发言人2:今天我们很高兴有主席艾米丽Riehl办公室给我们今天的谈话。艾米丽长大,去伊利诺斯州中部的高中,然后去哈佛本科生,除了她研究橄榄球队的队长。然后她去英国剑桥丘吉尔奖学金,除了所有其他的事情你可以做她有课程范畴论这是一见钟情。她是一个类别理论家。她然后回到伊利诺斯州芝加哥大学的研究生,除了研究范畴论澳式足球她拿起。成为很好的,代表美国在澳式足球七次。然后她回到哈佛博士后,除了她的研究范畴论她低音所有女性的摇滚乐队。最后,她来到约翰霍普金斯大学的助理教授数学,除了她的教学和研究范畴论她是2018年的斯沃斯莫尔学院Kitao讲师。最佳线上娱乐
主席艾米丽Riehl办公室。
主席艾米丽Riehl办公室:我觉得我不能上介绍,所以我现在应该回家了。如果是我,我可能会感觉最舒适的坐在前面,这样我就可以,你知道你可以向后倾斜。欢迎你如果你想要的。没有?好吧。我们有一个。太好了。是的。我的意思。你可以坐在地板上。
这个演讲的目的是为了证明以下定理,即…我会尝试使用一些颜色。我们要证明a (b + c等于乘以b + c, a, b, c是自然数。1、2、3、4、5,等等。这是谈话的目标。我想要花整整一个小时。我将简要介绍了我们将使用的步骤。有一种方法可以证明它更快,正确的。但是我想给你参观我的数学领域的范畴论。
范畴论是什么,大多数研究的数学家会知道它是语言发展中一些非常抽象的概念,但它也是一套证明技巧。和那些证明技术就像魔术,你可以部署在各种各样的数学背景。我想教你一些魔术今天你会希望看到他们在未来。这些事情会复杂的名字,但我希望你能知道谷歌谈话后我要给他们复杂的名字。
第一步叫做categorification。第二步是所谓的Yoneda引理。第三步是可被代表。第四步,在这一点上你就证明了这一点。所以第四步后最终将给你证明,我们已经做了所有我要欠你一个后记的点是什么?如果你想怒视我演讲的第一部分我将试着解决你的批评,最后。
我们潜水的。Categorification,也许是一种解释Categorification是什么,是通过这句话我听过归因于Gian-Carlo轮值表但我不确定这是正确的。总之,报价是,“所有方程都是谎言。”的question I wanna ask is ... I mean all equations are lies not in the sense that they're wrong. If you've shown that something is equal to something else you've probably actually done it, but they kind of conceal some sort of deeper structural truth. They flatten reality into just x equals y. And so what I wanna ask, the question that we're gonna start off is what is the deeper meaning of the equation that we're intending to prove? So what is the deeper meaning of the equation a times b plus c is equal to a times b plus a times c? Again, just to emphasize this a, b and c, these are just natural numbers. I'm tryin' to prove the distributivity of multiplication over addition. This is a familiar equation, but what does it really mean?
我们会到达那里。也许一开始就是角色扮演的自然数,由数字?不一定在这个方程,但在生活中。自然数所扮演的角色是什么?有很多不同的方式来回答这个问题,但一些想法是什么?自然数是什么?它为我们做数学家和数学的学生吗?你会如何解释一个数字是什么吗?这不是修辞。我要等到有人回答。 This is probably the hardest of the questions 'cause it is very open ended. There's lots of different roles played by numbers and I only have one in mind so it's a open ended question with only one right answer.
演讲者4:数算不算?。
主席艾米丽Riehl办公室:计数。太好了。正确的。我们可以把数字的顺序你知道一,二,三,四,五,六,七,八,九,十。什么意思如果我数一数人在这个房间里,我有77吗?这意味着什么?77是什么?也许我并不在意订单你们都坐在这是一回事,你实现计数。什么是77指的是人在这个房间里吗?
演讲者5:一组的基数。
主席艾米丽Riehl办公室:集合的基数,宾果。太好了。这个数字做的一件事,这是他们如何定义……这取决于你的根基,但数字做的一件事是他们定义集的大小。有限的数字将定义大小有限集的数量大小,这就意味着数量的元素或您使用的技术术语是,基数。或一组叫做基数。我要…写名字的一组元素我再写一个,但在一个大写字母和一个不同的颜色。的基数设定一个元素。这是语法,因为是一组的名称,名称是一个数字。这听起来有点滑稽当我说一个基数的大小,设置一个与一个元素,但如果你能读懂这个意思很清楚。 So 77 in the context of this room would refer to the number of people in this room. Assuming there are 77 people in this room which I really have absolutely no idea.
其中一个数字所扮演的角色是大小和一个符号。如果我想表达这种想法,是一组与元素的基数更简明地我可以等于,然后我把这些绝对价值在设置一个迹象。这只是一个符号为基数所以我们说的是一组元素。我喜欢这种方法。
让我们继续。如果我们专注于自然数所扮演的角色,b和c表达集的大小,假设如果a和b是a和b的值集的基数换句话说的是一组元素,b是一组与b元素,那么这些设置是正确的呢?什么是真正的a和b组如果a和b的数字是相等的?这是什么意思的集分别与A和B元素A和B如果这些数字是相等的?什么信息给我们吗?
发言人6:他们有相同数量的元素,它们有相同的基数?
主席艾米丽Riehl办公室:所以他们有相同数量的元素,它们有相同的基数。我同意。绝对的。
演讲者7:你可以匹配元素的一组其他找到现在的大小。
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。你可以匹配元素的数量。这样你可以对它们。有很多不同的术语。你可以把元素一一对应。你可以建立一个双射之间元素的数量,但我一个类别理论家所以我喜欢另一个词。所以我说这是真的。我会说一个等于如果只有,当且仅当敌我识别,所以就当集a和b是所谓的同构。现在我欠你一个的定义到底是什么意思。
同构的意思是,这就是你描述的匹配过程。换句话说,集同构如果存在一个函数从a到b,所以我用一些符号来表示一个函数。也许我会叫它(fe)。所以菲是一个函数,并产生一个元素的一个元素b。然后我也有一个函数调用ψ从b。所以需要b的一个元素一个元素,然后这些函数建立一一对应。这是说这个元素对应于特定元素的b和b的这个元素对应于相同的元素,我可以表达,说这些是相反的。这些功能是相反的。这是一个结构性的方法说我们要匹配的元素的元素B可以匹配的元素a和B的元素没有留下任何东西或没有复制任何当且仅当基数是相同的。
我们在哪里?我们试图理解一个方程的深层含义。我认为我们可以考虑这些数字在这个等式,b和c的表达有限集的大小。然后我们可以考虑这个等号表示一个数等于其他个数断言集同构。我想介绍符号。的情况下,也许我就总结这一步。如果a和b是同构换句话说如果数量等于乙数,我们写一个符号看起来很接近平等符号但你把在上面乱涂乱画。这是同构的象征。这只是意味着我能想出这之间一一对应的元素A和B的元素。
我们明白这个方程中的数字表示尺寸的有限集和有限集之间的等号表示一个同构。要真正理解等式的深层含义,我需要了解角色扮演了符号+和*。+和*。当我们表达这个问题不那么模糊的方式,所以在特定的假设,如果我有我的数字b和c,我理解这些大小的设置。B是一组的基数B和C的基数是一组C。然后设置能我从集构建B和C, B + C多元素?换句话说,如果我有一个特定的设置与C B元素和一组特定的元素,我怎么能把这些在某种程度上形成一组与B + C元素?我怎么能categorify加法?你怎么认为?
发言人8:你可以把他们的联盟?
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。所以我们想把他们在一起。有一个…让我们考虑一个例子,假设b组的元素是平的,锋利的和自然。c元素的集合,这些是很难画,一个心,钻石,铲,这是一件好事你们不太接近,和俱乐部。是什么意思联盟或者技术术语是不相交的联盟。这是一个不相交的联盟。b + c是什么,我打算写套粉色,那么b + c元素的设置只是这些元素所以我包括平的,自然的,锋利的,然后这些元素。如果我给了两套不同的元素相同的名字我应该包括他们两次。不知何故不相交的联盟的想法是这些元素记住他们来自c和这些元素记住他们来自b。
但无论如何,导致有三件事,四件事,就是有一件事在这里所有的东西都在这里,一个东西在这里没有重叠,这个集合的大小是b + c。所以b + c的基数正好等于b + c。还有一个问题然后我们完成了第一步。最后一个问题……我不会写太低黑板上但我要用一点。最后一个问题是,同样的如果我认为数字A和B如果A和B是同样大小的集我也要叫A和B只是使它具有挑战性也跟随如果你不阅读。如果A和B是A和B组的大小那集,我从A和B可以构建乘以B许多元素。我如何使用元素的一组定义一组新的基数是产品而不是互斥的联盟?有标准操作,但这可能有点不太熟悉不过肯定你们都见过。
发言人9:笛卡儿积。
主席艾米丽Riehl办公室:笛卡儿积。绝对的。我会再给一个例子是,我将使用相同的b那边是锋利的,平面和自然和有两个元素,我要叫他们星号和明星,我意识到看上去很相似。意味着然后由笛卡儿积乘以b,那么这将是下令对元素的元素在一个协调来自一个和一个协调来自b。这就像R2在微积分,多变量微积分。所以这里的元素将星号配上平底。星号搭配自然。星号搭配锋利,然后还明星搭配持平。星搭配自然和星搭配犀利,确实有两个元素的三个元素b和有六个笛卡儿积的元素。
然后总结是什么?我将把它写在这里。我要做的就是我要总结第一步。我们终于可以回答这个问题越深……我先写在这里,我们会重写它。让我们回到最初。的深层含义是什么方程a (b + c等于乘以b + c ?如果我们考虑数字代表集,我们明白,如果我们把这些数字换成集也可以取代其他符号。谁能说在一起吗?被断言如果一个,换句话说如果是大小的一组,B是一组B的大小,C是一组C的大小,一定是真的为了什么a (B + C等于乘以B + C ? Yeah.
发言人10:(听不清)。
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。绝对的。答案是这是真的当且仅当,这相当于说,一组是由的笛卡儿积的设置一个独立工会的b + c同构集的笛卡儿积形成的a和b,然后采取的独立工会的笛卡儿积与c。这种平等是categorified丰富这个同构的存在。如果我们仔细想想,这不是不合理的,我们会有这样的同构。这是什么a (b + c所以我不相交的联盟形成的集b + c与平坦,所以我有这七个元素集,自然和所有牌面符号,然后我要把每一个元素用。这将设置…我不会写出所有14元素或我们会在这里很长时间,但是这些元素是元素列表的七个搭配星号和搭配锋利。
现在这是什么设置?我把这里的笛卡儿积,然后形成一个类似的笛卡儿积与明星和星号和四个西装形状然后我不相交的联盟。肯定这两个组有14个元素。这是个14 = 14。这就是我们努力的方向。2乘以3 + 4等于2 * 3 + 2 * 4。特殊情况我们的定理,但另外两组有相同的元素。不仅仅是同构的。它们同构通过一种很自然的方式,有点暗示发生了什么。
让我们总结的第一步。再一次,我们试图证明一个定理,证明了方程a (b + c = a (b + c *我认为对你是我们而不是我们将证明集是由b + c的独立工会,然后是同构的笛卡儿积集的笛卡尔积a和b和c的笛卡儿积和不相交的联盟。好吧?所以我们简化问题清楚。
好吧。这是简单的。第二步是什么?哦,等一下,这个会混乱。我就抹去。第二步叫做Yoneda引理,每个类别的理论家们最喜欢的定理,因为……这个笑话,如果你想证明什么范畴论你只是说它遵循Yoneda引理,然后每个人都点头。这是什么?
我要状态Yoneda引理为你在特定的情况下,我们将使用它。它的声明如下。我将状态作为一个定理虽然叫做Yoneda引理。我会这样说。集a和b是同构a和b是同构的,记得意味着你可以把元素一一对应当且仅当以下是正确的。当且仅当所有其他设置x, x,所以所有集的函数或也许我会说函数的集…我要介绍一些符号。这些也是集。我将把它们写在粉红色的帮助我们记住这些设置。所以有趣的斧子,在这里,我指的是一组元素的功能就像我们之前考虑的领域,其形象或其域,抱歉。 I try to always avoid ... the target is x. And also the set of functions from b to x which is defined exactly the same way so an element is just the function from b to x. So the statement is sets a and b are isomorphic if and only if for all sets x the sets of functions from a to x and from b to x are themselves isomorphic and moreover this isomorphism is what's called natural in x, which means something or other that I'm probably not going to explain.
普遍经验学习Yoneda引理是你看看声明像地球上的好,也许这是真的,但为什么会有人在乎吗?这是一个有趣的结果,因为它将需要数年才能准确理解为什么这是最好的定理在你的生活中你会学到。如果你完全困惑,欢迎来到俱乐部。
让我给一些启示,为什么这是真的。这是怎么回事。另一件事是这听起来像一个疯狂的想法。我只是想表明,双射的a和b是相同数量的元素,我想说的是我们来证明任何集合x,甚至有集的集所以我们量化绝对极大的。这组函数同构,此外这同构是自然的。不管这意味着什么。这是一个好主意。我保证。让我们给一些启示,为什么这是真的。
这两个方向的证据。我说a和b是同构当且仅当这些集合是同构的。所以我先…事实上也许我会离开第一个方向作为练习,因为它是更明显。这是艰难的一个。这是有趣的。假设我已经证明了这个疯狂的声明为每个集合x有某种同构,某种自然之间的双射函数集从一个x和一组功能从b到x。我想从这得出集a和b是同构的。这是这是如何实现的。
如果我们假设我给一个组之间的函数之间的同构和一组功能从b到x x,然后在特定的…我可以带我的任意集合x a或b。特别是我有一个从一组函数之间的同构和从a到b组函数这是情况我把x是一个和我也有一个对应的同构集之间的功能从a到b和b, b组函数。这只是特殊情况的声明,我认为采取x是a或b。这里有利的是我还没告诉你们组a和b是什么。在我们考虑一个例子与特定元素,但现在我们只是抽象地思考。我不知道什么是a和b,但是我可以确定这个集合的一个元素。我可以确定一个函数从一个同样的我可以确定一个函数从b到b不知道任何关于a或b。谁能想到一个函数呢?所以b是一组。我没有给你额外的信息。定义一个函数从b到b。要一个良好定义的函数。是的。
发言人11:身份吗?
主席艾米丽Riehl办公室:身份。绝对的。这是正确的。这是,我称之为idb, b的函数,它将采取任何元素相同的元素。计算机科学家的λx[认为]。它的函数。同样的,当然,我有恒等函数从这些双射的存在,所以,如果我有一个特定的元素有一个相应的元素在这个集合。在这种双射的我有一个相应的元素组函数从a到b。我把它叫做菲和我这组函数的对应元素……我写错了。这应该是b,应该是一个正确。我没有替代变量。这里对应的元素,这是一个函数从b到这是函数从a到b。这是我现在有什么伟大的所需的数据的一个同构。我想构建一个同构a和b之间,我发现是一个函数,每个元素b的a和b的函数,它需要每一个元素。这些与恒等函数。
我们需要指出,这些函数φ和ψ是相反的,因为记得让之间的同构集是什么我需要这样的一个函数和一个函数这样但我希望他们是互逆的。那么如果我做φ和ψ是一样的身份或ψφ,然后是一样的身份。这是自然性的由来Yoneda引理的声明的一部分,我不解释。我不打算。它实际上并没有那么复杂,但有点模糊。我要画一个交换图然后我们不得不盯着一段时间。自然性是范畴论是一个技术术语,非常正确命名,如果你有写一个同构,它看起来自然就会自然。如果这似乎是一个自然的建筑那么在技术意义上是很自然的。让我们假装我完成了证明。
这是整个的第二步是完全疯了。忘记,证明如果你不喜欢它。但第二步的总结是什么?让我提醒你关于第一步。再一次,我们的目标是证明在加法乘法分配律,a (b + c a (b +乘以c。在第一步我们减少这一结果证明一个同构涉及组a和b…a、b、c和同构是我要把我的设置,b和c b + c的独立工会的笛卡儿积和认为这是同构集不相交的联盟,笛卡尔的产品与b和c。这是第一步是我减少它。
第二步是什么……证明我有这个同构a (b + c同构乘以c a (b +,我要做的就是相反证明,如果我考虑从a (b + c组函数任意集合x然后同构的函数集不相交的联盟的笛卡尔产品a和b和c x x和自然在x x +自然性。好吧。再一次,我保证这是要帮助我们证明这个定理。让我们进入第三步。
好吧。同样,在步骤1和2我了…首先我categorified的问题…继续在这里。第三步可被代表。在第一步我categorified这种平等的基本运算的问题,而是表达了它作为一个集之间的同构。在第二步,我取代了之间的同构集之间有一个归化射集的功能。第三步是什么是我们要试着了解这些功能的设置。我将表达这个问题。什么是b + c x的函数集不相交的联盟的b + c x ? What I mean by asking this question, let's think about an element of this function. What is needed to define a function fe from b plus c to x? So what is needed to define a function from b plus c to x? b plus c remember is the disjoint union of sets. If I asked you to define a function b plus c to x, what are the steps required to define a function like that? What data determines a function from b plus c to x? Again, I'm looking for a pretty general answer because I haven't actually told you what these sets are or anything useful like that. Yeah.
发言人12:函数从b到x和一个函数从c到x ?
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。这是完全正确的。你需要做些什么来定义一个函数?为每个元素的域我要告诉你什么是它的形象。我必须指定的每个元素b的铁和铁的每个元素c。现在的元素b + c分离联盟来自b或来自c和这两个案件之间没有重叠。通过案例分析我需要做的是需要定义两个函数。也许我会打电话给其中一个铁子b从b到x和另一个我要叫铁子从c x。
我总结这一步。我将称之为配对。通过配对组函数之间的我有一个同构从b + c x和一组功能从b到笛卡儿积的函数集c x,这信件,再次,如果我有一个函数菲一双功能决定了铁,是由它的组件b组成函数的b部分,然后组成函数的c。如果我有这样的一个函数从b到x和一个函数从c x我可以两人一起定义一个函数的不相交的联盟。这是其中的一个,我不知道,这感觉就像一个非常自然的建筑,这是一种归化无定形正如我这组特征函数。
让我们问类似的问题。是什么……我们如何描述一组函数从x乘以b ?换句话说我问是什么,什么是需要定义一个函数,我们将称之为psi从x乘以b ?您需要定义一个函数什么数据?我不足够高。会有一点点的差距。你需要什么数据定义一个函数从x乘以b ?这个有点困难。是什么一种思考的功能域是集a和b的产品吗? I feel like this is a weird question I think computer scientists actually have better intuition for than mathematicians because they're used to working with functions in this particular way. Yeah.
13:议长(听不清)。
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。正确的。我们可以考虑a和b作为单独的参数。思考这个问题的一个方法是……所以答案是b的每个元素,也许我会称之为y, b,我需要定义的函数,它是ψ空白从x y。所以每个…如果我同意,我的第二个组件是y,我需要的是指定一个函数从x然后我将进一步把它输入的,我把它放在那里,我得到一个元素(x)。这是什么分解叫什么?有一个名字。我的意思是,对不起,说这是另一种方式是什么换句话说,y是定义为一个函数,我要再次调用psi, b的集合作为输入,然后每个元素x从a到b的产生函数。总之,通过…有人知道这个过程的名称吗?它或另一种方式。 I never remember.
发言人14:鞭笞?
主席艾米丽Riehl办公室:当然。通过一个叫做局部套用或者uncurrying,但我不会给一个方向同构谁在乎呢?我们可以考虑x从乘以b函数作为函数从b到函数从一个x。再一次,如果我有一个元素的对应关系是什么设置?如果我有一个函数乘以b x,我可以认为这是一个函数的参数化的元素b。这对应于一个函数,我给完全相同的名字,这对第二个变量,然后对剩余的变量。再一次,这对我来说感觉很自然。我可以让这个定义不知道集a, b和c。我们要运行。
让我们总结一下我们在哪里。再一次,我们试图证明a (b + c a (b +乘以c。我们认为使用categorification代替就可以考虑设置一个,b, b和c和c的基数,分别与证明有一个同构的笛卡儿积不相交的联盟的b + c和a和b的笛卡儿积不相交的联盟的笛卡儿积和c。证明这种同构集存在我要证明有一个同构集函数从a (b + c到x和功能从乘以b + c x x和自然。
现在,也许我将总结第三步是什么,通过配对,我们可以描述的功能就像一个+ c x作为……我可以说,集是同构的,事实上自然同构对函数的设置一个x和一个来自从b到c x。这一过程被称为局部套用我也有类似的描述说从b组函数x是同构的功能从b到x的函数集。我会给你一个喘口气的机会,因为现在我们最终准备好了证明。现在我们在第四步,证明。
通常我不,老实说,我可能不会说我们的目标是一个定理的结果,但我们一直很努力所以也许你会给我这个定理。我要证明是自然数,再次自然数就像数数零,一个,两个,三个,等等。也许不是零,我的意思是零很好但我不想思考。我要证明这是加法乘法分配律。让我们看看这是去。我们要遵循大纲,我压低你的喉咙。
第一步是我们要……也许我们提醒自己这些数字和集之间的联系。我要让a、b和c,我会认为这些数字是集的基数。也许我让A, B和C, A, B和C是集的基数是我感兴趣的数据。如果是5,我需要找到一组有5个元素等等。让,B和C是集的基数这些数字和我们相反显示……我们将表明,该套的笛卡儿积形成的独立工会的b + c同构集,通过分离形成联盟的笛卡儿积与b和c的笛卡儿积。正如我说的,如果这些集同构然后我可以把他们的基数……我可以计算元素的数量,然后计算元素的数量,因为我知道如何影响基数不相交的联盟和笛卡儿积的操作,如果这些集合是同构那么肯定a (b + c等于乘以b + c。这是第一步,第一块categorification。
现在证明我们会显示一组函数而不是从第一集的笛卡儿积的独立工会b + c x同构的函数集不相交的笛卡儿积的联盟与b和c x x自然。所以我需要构造某种同构这样对于所有x自然,不管这意味着集合x。这就是我需要你的帮助来完成证明。我试图表明他的同构。我会再写在左手边我们可以看到它。更多的空间。如果我看的笛卡儿积的函数集不相交的联盟的b + c x,这个设置同构是什么?自然同构。我怎么能……什么是另一种思考从a (b + c函数?最终我们会在这里而不是在第一步。我想那个方向一小步。 What's another way to think about a function from the Cartesian product of a the disjoint union with b plus c into x? Yeah.
演讲者15:同构的功能从a到b + c x的函数集吗?
主席艾米丽Riehl办公室:这是真的,但我认为会比其他方式较难使用你可以这样做。咖喱的另一种方法是什么?我同意你所说的。你建议局部套用属性。是的。
发言人16:b + c函数的函数(听不清)。
主席艾米丽Riehl办公室:从b + c组函数从一个绝对x。你说的是真的,你可以用它来度过的证据,但我认为这是一个更难看到所以我要走这条路。这是由…对不起(听不清)的局部套用。我有一个自然之间的同构这组函数,这组函数。太好了。我知道从b + c函数集,b + c的独立工会,从x的功能?我怎么能我能把这组函数吗?是的。
演讲者17:我们可以通过配对分解到组函数从b到x的函数集,然后(听不清)。
主席艾米丽Riehl办公室:当然。有趣的斧头是一组有趣的,但它是一个集和配对的财产如果我有b + c到其他组的功能我可以分解它们。绝对的。这就是我们所说的配对。好吧。我能做什么与这些设置?所以现在我有两个集合的笛卡尔积的函数,一个从b到函数从x和其他从c函数从一个x。我怎么能把这个集合?
发言人16:鞭笞?
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。
演讲者18:你能逆咖喱吗?
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。让我们uncurry或咖喱局部套用我们需要做的。我就叫它局部套用。从A到b功能x的函数是一样的函数乘以b x。我将在第二部分中使用类似的同构。同样,从c函数函数从x函数乘以c x。这是由局部套用。太好了。现在怎么办呢?这是什么同构?
发言人19:这些数字配对吗?
主席艾米丽Riehl办公室:是啊。我可以把这些功能和表达这双功能结合成一个单一的函数的域是独立工会的笛卡儿积b和c,其目标是x再次配对。这正是我们想展示。
我确实欠你的结语是什么意义?所有的点是什么?第一个尾声,何苦呢?我首先要观察的是,我们注意到,当我说我说,这个定理,b和c是自然数,然后我开始争论的属性集,实际上我并不需要这些集是有限的。注意的观点中,我只是给你,集a, b和c不必是有限的。这意味着同样的论点,我刚刚证实,概括也许稍微陌生上下文。无限集的基数叫什么名字?如果自然数是有限集的基数,无限集的基数是什么?什么样的数量?
演讲者20:超限数据?
主席艾米丽Riehl办公室:我不记得那些让我不评论。可能。
发言人21日:Aleph-naught ?
主席艾米丽Riehl办公室:Aleph-naught是其中的一个例子。我想这可以追溯到问题的数字是什么?的建议的数字之一是计算事物或说的另一种方法是把每样东西都井然有序。首先,第二,第三,第四件事。如果你有一个可数无限序列的人然后一个接一个的人,这个数字就叫做ω。这是第一个无限的序数。然后我们有ω+ 1和ω+ 2ω+ 3这些数字表明序无限集合的事情。人例如因为无限多的人完全是有道理的。但是你如果你使用一种不同的数字计算无限集。你可能已经听说了希尔伯特的酒店或有一个论点与兄弟姐妹无穷和无穷+ 1。 As ordinals those would be different, though it depends on which side you add the one, confusingly. For a different sort of numbers it's a different story.
红衣主教发言人22日:我想你?
主席艾米丽Riehl办公室:红衣主教。这是完全正确的。红衣主教的数字意味着集的大小。事实上,这正是他们是如何定义的。一个红衣主教是一种同构类的集合。红衣主教…想真正的大数字。红衣主教尺寸是非常大的数字。如果你的红衣主教αβγ……我有完全相同的属性。 So alpha times ... I can develop arithmetic for cardinals. That I guess was the title of this talk, Categorifying Cardinal Arithmetic. I have exactly the same property. The alpha times beta plus gamma is alpha times beta plus alpha times gamma. How do we prove this? It's okay if you're unfamiliar with these sorts of numbers because the proof is exactly the same one. You take these cardinals. You represent them as sizes of sets. They're not finite anymore, but who cares? You need to argue that there's an isomorphism like this which you can construct in this way via that sequence of naturalized [crosstalk]. Maybe you don't really care about cardinal arithmetic which is fair enough. But another thing to note is that this a, b and c don't actually have to be sets at all. So don't have to be sets at all.
我的意思什么?如果我们考虑集的数量的元素定义了一个号码,然后我想我们思考集。但是对于这个论点的肉,这个Yodena引理的一步,这一步,表现力这些原则对更复杂的数学对象的类型。我要提几个定理。有一件事我可以说是向量空间,它就像R2, R3,向量空间的例子,但这在任何领域工作,他们没有有限维。为向量空间u, v, w,我可以形成向量空间的张量产品u向量空间的独立工会和w或者我可以形成u和v的张量积,然后带上的独立工会u的张量积与w。也许我会认为这些向量空间是线性同构有某种关系。
如果你不那么喜欢的向量空间我可以说不错的拓扑空间,空间不错,拓扑空间,我将称之为x, y, z,我有一些模拟+拓扑空间上和时间操作。我可以把所谓的笛卡儿积与产品道歉(x)与空间的y和z的独立工会。我再次(相声)在一个特定的方式同胚的,所以同构的空间得到的笛卡儿积x与y和x z,然后不相交的联盟的空间。这是一个连续的同构,它的逆也是连续的,是另一个拓扑空间的属性,这是一个有趣的事实。
或如果你喜欢代数,我可以说交换组a, b, c,我可以带的张量积/ z的直和b + c。或者我可以花的张量产品a与b和c,然后直接求和。再一次,我有一个这样的同构。这是一个同态同构。在每种情况下证明都是一样的。上面的一模一样。这些范畴的理论争论的重点是你不必重新发明轮子。完全一样…证明的东西…数学做的上下文无关。这无关紧要我讨论什么样的数学对象。 I can argue about them anyway.
真正的点如果你继续在数学categorification Yoneda引理,可被代表,称为限制和colimits,事情叫做秘密地出现在这个证明的连接。他们只是到处都现在你见过他们。非常感谢。
