听:数学家Elizabeth Drellich解释了一个关于动画和代数的故事
客座助理教授Elizabeth Drellich解释样条曲线:一个动画和代数的故事
在这次演讲中，数学和统计学客座教授伊丽莎白·德雷利希(Elizabeth Drellich)介绍了样条曲线，以及几个世纪前由造船商开始的概念如何成为强大的代数工具。她已经在斯沃斯莫尔大学任教三年，目前教授概率和组合数最佳线上娱乐学。
Drellich解释说，你的汽车模型的表面或你最喜欢的皮克斯人物的脸是由一组多项式组成的，这些多项式被平滑地组合在一起，称为样条。这些样条是模型，但它们也是可以相加和相乘的代数对象。一些样条包含了关于群和代数变体结构的深层信息。
Drellich的演讲是每周二在科学中心举行的数学/统计讨论会系列的一部分。
音频记录:
提问者1:……伊丽莎白·德雷利希在这里，她来这里已经三年了。她今天会做一个演讲，她教概率和组合数学，她下学期会教所有的代数。她在乔治华盛顿大学获得了数学和国际事务学士学位然后在马萨诸塞大学阿默斯特分校获得了数学和国际事务学士学位，在那里她在史密斯大学教过一段时间。后来她在北德克萨斯大学教书，我们把她偷走带到斯沃斯莫尔大学。最佳线上娱乐她的主题是“样条，从动画到代数”。
伊丽莎白D:真酷。好的。所以,样条函数。这个小生物是《海底总动员》里的海星。你好!希望在这节课结束的时候，或者在前三分之一课结束的时候你们会知道为什么会有这张图。
但我想从一些历史开始。所以，如果我告诉你我要给你一条样条，当我递给你的时候，你可能会想，这是一块很弯曲的木头。你想要一块弯曲的木头的原因是你可以把这块木头弯曲成任何你想要的弯曲形状。这张图呢?这实际上是相当大的，这是吉他的侧面被塑造成正确的形状。所以我们用这条弯曲的木条创造了一条平滑的曲线，将你想要吉他包含的这些重要的点连接起来。
好的，讲一点历史。用弯曲的木片来建模或制作需要击中某些点的东西，实际上是一种非常古老的技术。这是1711年的一本书中的图画。就是造船师的助手，如何造船。
这说明了，所有这些曲线都是你想要的光滑曲线。你需要一块弯曲的木头，你希望所有这些弯曲的木头都整齐地排列起来，这样你的船就不会有任何洞。所以它不会下沉。那就太糟糕了。你可以从一些弯曲的小木头开始，做一个模型。所以你知道，在你雇佣了这几百个人和多年的劳动来建造你的船之前，它实际上是可以漂浮的。
接下来我要给你们看的是。我应该早点拿到的。这张照片。这是由皮克斯制作的动画，我想应该是迪士尼皮克斯，你们注意到这只手了吗?你观察到了什么?看起来完美吗?
听众:没有。
伊丽莎白D:不。如果你看到它，你会说，“嗯，有点粗糙”。但是，下一张图，是我们如何改善这只手，使它平滑。所以当这些迪斯尼皮克斯动画师在创作这个的时候他们可能会从这样的图片开始，然后平滑它，创造平滑的曲线，把它变成这样的图片。
所以我想放大这两幅图之间的真正区别。第一张图有很多点，它们被很好地粘在一起，它们在重要的点相遇，它们都排成一行。如果你把它做成手套或贝壳，上面就不会有洞。但是在两个平面相交的地方有非常尖锐的边缘。这实际上是一个[听不清]多项式的图。有紫色平面，绿色平面，蓝色平面和红色平面。我相信。如果我想平滑它，我可以增强多项式。
现在这幅图，不是平面，而是二次方程。我们仍然知道函数在- 1到0，- 1到0的平方上是0。紫色的部分。实际上四个角都在同一点上。但是我们已经把所有的边都磨平了。所以不是两个平面的剧烈碰撞，而是平滑的曲线。你可以连续地从紫色到绿色。你可以连续地从绿色到红色，从红色到蓝色，从蓝色到紫色。实际上，在这幅图中很难看到，但在0 - 0处也很平滑。你可以在四个方向中任意一个方向连续移动。
好的。我要讲一些代数知识。我们要把这个图化简成单变量的函数。第一张图，第一张手画，第一组四个平面。虽然它有点像这张图，我们有一个[听不清]定义的函数，比如h，我们有f (x)和g (x)它们在一点上很好地相遇。所以f (a) = g (a)但是它们相交的地方比较尖锐。所以我们可以添加什么样的条件来说明，“我们不只是希望他们相遇，我们不只是希望我们的飞船上没有洞，我们希望它具有某种流体动力”。对吧?我们不想有锋利的边缘。
除了f (a) = g (a)之外，我还能加上什么样的数学约束呢?这是给你们的问题，你们都在注意[相声]。是吗?
(听不清)
是的，如果我加上f ' (a)也必须等于g ' (a)而不是f (a)等于g (a)那么我就会得到一些东西，哦，错误的方式，像这样。所以加上第二个约束条件意味着现在它们不仅会剧烈地相遇，而且会平稳地相遇。通过加上这个，基本上是微积分的约束条件，我们已经从第一个手图变成了第二个手图。
好的。到目前为止，我们已经看到了一些动画，我们已经看到了一些函数，这在代数上意味着什么?
(听不清)
它们必须相等，fa, f (a) = g (a)然后，代数上我可以把这个条件写成x - a必须除这两个函数之差的规则。这可能不是很直观我想提醒大家如何展开多项式。你求f (a)的泰勒展开，所以我们要做一个合理的假设f (s)等于它是在a处的泰勒扩张，然后你可以说f (x)等于f (a) + f ' (a) / 1乘以(x - a)加上f ' ' (a)(听不清)乘以a²。我们把这些项永远展开。如果我们对g (x)做同样的处理，假设二是g (x)也等于这是在a处的泰勒展开，那么如果我们用f减去g会发生什么?如果它们恰好相等，这里的前两项?他们消失了。
然后我们正好有了x - a出现在后面每一项的代数约束。如果我想加上导数也匹配怎么办?这又是给你们的问题。泰勒级数的差值会怎样?
是的,(听不清)
x - a²会受到影响吗?
伊丽莎白D:是的。如果f (a)和g (a)相等且f ' (a) = g ' (a)那么展开式的每一项都有x - a²。所以，如果我不只是希望它们相遇，而是希望它们顺利相遇，直到[听不清]导数，或者直到n阶导数，一直向上。我需要加上这个约束条件即(x - a) ^ n除以f (x - g (x))所以我把这个物理或技术上的想法，我们需要这些曲线平滑地相交，我把它变成了纯代数的东西。好的，我们有这样的条件，即(x - a) ^ n，除以f (x - g (x))我不想回到在一阶导数处平滑地相遇，在点处相遇。也就是(x - a)²/ (x - g)
我们通常不考虑多项式除以其他多项式，或者除以泰勒展开。那么除以f (x) - g (x)是什么意思呢?或者我们可以认为存在其他多项式，h (x)使得h (x)乘以(x - a)²等于这个差值。
如果我们不能有有理函数我们需要一个实际的多项式如果我们想让这些都是多项式。有谁上过数学67课，请举手?
好的。这是一个很好的群体。没有上过67数学课的同学，我下学期会教这门课，所以[听不清]你们可以在30秒内查看[听不清]。那么，我们可以用什么来描述集合h (x)中的所有多项式对于某个函数，h (x) (x - a²)所有的函数都可以写成这种形式。丹尼尔?
由x - a²产生的理想?
伊丽莎白D:是的。一种写法是，我把它移到黑板上，如果我写出x - a项的平方，我就可以求出所有的函数。由它生成的无限函数集。这就意味着我们得到了h (x) (s - a)²这样的东西的集合使得h (x)是一个多项式。我已经用r连接x表示出来了。
如果你还没上过数学67，你可以跳过这一行因为这三个条件是完全等价的。用(x - a)²整除差值的想法等同于存在某个具有这种性质的多项式h，也就是说理想中存在差值。
现在我们来看看代数问题。所以我不是工程师，也不是动画师。尽管这些都是非常有趣的事情，我想深入研究。我更像是一个代数家。所以我想问的问题是，有没有可能分配不是一个解而是所有解。我们能找到所有的对吗，f (x) g (x)具有我们所关心的性质。你可以把财产看成这三个中的任意一个，它们都是等价的。
那么，你能给我一个特别的[听不清]
是的，4乘以(x - a)²。
伊丽莎白D:好的。4乘以(x - a²，0)你能给我更多的解吗?那么你要怎么换种说法来给出更多的解呢?
现在我们可以把集合的两个元素乘以任何实数。
伊丽莎白D:是的。我们可以有任何实数，比如a，不，我们已经用过了b乘以(x - a)²和0，这是可以的。还有别的办法吗?
如果你分心或想做一个项目，我们就把它作为一个想法。这个例子中有更多的配对。但我想举一个既难又容易的例子。所以，我不讨论多项式了我要把这个问题转化成多项式而只是成对或三连式。如果我给你一个有a和b的图我用I标记连接a和b的边，我想用这个符号传达给你的是，a - b在集合I中，就像我们有f (x) - g (x)在由x - a²生成的理想中一样。
这是一个三角形。我们将一起来回答这个问题，所有的三元组是什么;A, b, c，它们的性质是A - b是5的倍数，b - c是7的倍数，A - c是3的倍数。我会给你们几秒钟写下来，举一些例子，然后我们开始收集一些例子。我们要在黑板上集合。
如果你举手三次，我就把它写在黑板上。丹尼尔?
丹尼尔:a到b可以用5个，b到c可以用7个，a到c可以……哦，你想要一个真正的三角形还是
伊丽莎白·D:……我想要值a b c，它们有这个性质。
丹尼尔:我看到了(相声)
伊丽莎白D: a - b是5的倍数，b - c是7的倍数，a - c是3的倍数。[听不清]你能举个例子吗?
(听不清)
伊丽莎白D:好的，你能大声点说吗?
观众:105 ?
伊丽莎白D: 105。
听众:210。
伊丽莎白D: 210。
听众:315。
伊丽莎白D: 315。好的。那么，有人能确认这些就是我们需要的差异吗?这个和这个的差值;A - c是210，是7的倍数，3的倍数，5的倍数，是所有这些的倍数。这里是105，这肯定是5的倍数，这里又是105，又是7的倍数。丹尼尔，你还有别的吗?
丹尼尔:对，a - b，抱歉，是a……所以你可以有一个东西，我猜是2。
伊丽莎白D:好的，是2。
然后b是7
伊丽莎白·D:……B是7。
c可以是14?
伊丽莎白D: 14在这里可以吗?是的，12 7和5都有正确的性质。
是吗?
观众:那么一，一，一
伊丽莎白·D:一，一，一!是的。如果我们把它们都标为1，我们就得到了我们想要的性质。我们都笑了，但这真的很重要。因为这种标记的方式，这个函数从顶点到整数，这是非常重要的，我们称它为平凡样条。所以你知道当你的代数中有一个东西被称为平凡向量空间，或者你有，你知道，各种各样的东西我们称之为“平凡空白”。这意味着它们真的非常非常重要。即使它们是1,1,1。
还有别的事吗?有没有办法再给我们一个标签?这个三角形上的另一条样条?也许是从其中一些。好的，0,10,3。我喜欢那个。
观众:如果我们取其中任何一个，在三个括号中各加一个常数，它就会保持所有的[串扰]-
伊丽莎白·D:……如果我给每个顶点加一个常数呢?它会保持差值不变。所以我可以用3加上常数，10加上常数，0加上常数。你可以给所有的顶点加一个常数。我还能做什么?把它们加起来。我可以把两条样条加在一起。我可以把这个和这个加起来得到329 217和107。它们仍然有相同的性质这两个的差是3的倍数。 The difference between these two is a multiple of seven, and the difference between these two is a multiple of five. Is there anything else I could do?
还有一件事吗?是吗?
你可以把它们相乘。
伊丽莎白D:什么意义上的乘法?
通过一个整数。
伊丽莎白D:我可以把它们乘以一个整数。我可以说，这个1乘以2，得到28 14和4。好了，现在我们已经在这个三角形上确定了一大堆样条我们有了所有这些规则来得到更多的样条。我把目前允许做的写下来。
我们可以把两条样条相加，两条代数样条。我们可以乘以一个常数，每一项都乘以一个常数。这里的这个，我们给每一项都加了一个常数，我们需要把它指定为一个不同的角色吗?
不，因为我可以通过乘以1 1 1，这个超级重要，超级无聊的样条来得到这个。通过常数c得到c c c，然后把它们加起来。好的。我们有一组对象，我们可以把它们相加，也可以乘以任何整数。我们把这样的一组物体叫做什么?任何读完67节课的人都可能会在脑后想起这个词。教授?
教授1:(相声)你不需要67。
伊丽莎白D:什么?
教授1:你不需要67。
教授2:它在向量空间中?
伊丽莎白·D:啊。教授们提出了一个猜想。这可能是一个向量空间。有人不同意尊敬的教授们的观点吗?这是一个向量空间。
我认为因为，你的，我们的[听不清]就像。常数是整数。所以它不是一个向量空间，它是一个模块。
它不是一个向量空间。它是一个模块。所以[串扰]向量空间是一个模块化的工作领域。而且我们不是在[相声]领域，所以我们只能[相声]-
教授1:我忘了你在讲c，我们只是对你进行概括。(相声)
伊丽莎白D:看起来，样条的集合，我们的三角形，这个特殊的三角形，也许任何三角形，我们会看到。是一个z模块。它就像一个向量空间，但是我们不能除以整数。你们觉得这个三角形有多特别?这真的很特别吗?
听众:没有。
伊丽莎白·D:不，(相声)一点也不特别。事实上，这一点都不特别我们甚至不需要整数。对吧?上面有个/ z。好吧，如果我有脑子的话，我可以建立同样的定义。我可以取一个图形，我可以用理想值标记边缘，我可以问哪些顶点标签具有我所关心的性质。但是a和b之间的区别在于它们之间的边的理想标记。我要暂停一下，给你们看一张漂亮的图片，给你们看我最喜欢的样条曲线。
这是我最喜欢的样条曲线。代数花键。我非常喜欢这个样条，所以我用3D打印了它。所以要慢慢传，这些都很贵。是指时间，而不是金钱。所以我要向这个方向发送一个，Hi!我要把另一个往这边送。橙色的在屏幕上。你在3D打印的版本中看不到，但你可以在幻灯片上看到，我有六种不同的颜色，这些颜色代表不同的边缘标签，不同的理想。所以所有的粉色边都有相同的理想值。 All of the green edges the labeled by the same ideal. And they're actually all parallel.
如果我计算所有可能的样条，作为边标记的图，我将得到一个模块它恰好是某个代数变量的上同。这就是[听不清]这三个人的上同调。其他人，[听不清]我很乐意告诉你关于它的一切。但在这条评论中还有其他内容。也就是图的这条边的样条组成了一个秩为24的模块。
我说的排名24是什么意思?这又回到了刚才的评论，这是向量空间还是一个模块?我们没有向量空间，我们可能没有基底。但仍然有可能我们有一个发电机组。所以当我说一个rank 24的模块时，我的意思是在顶点上有24个标签的集合，它们尊重这些约束，由颜色给出，只使用这些操作生成。加上和乘以一个常数，将生成所有可能的样条。
我在几张幻灯片前问过的那个问题，我们能找到所有可能的具有我们关心的性质的对吗?对于这条样条，对于这个边标图，我需要明确地告诉你，24个边标，当它绕着走的时候你可以数24个顶点，这样才能得到所有的边标。
我想回到这个三角形。因为三角形只有三个顶点。现在我们在黑板上有1 2 3 4 5 6条样条。我们知道如何用这6条曲线做出更多的样条，对吧?乘以一个常数，我们可以把它们相加。为了生成所有的样条，我们需要所有的样条吗?我们能在这个三角形上用这6条曲线生成所有的样条吗?也许有什么我们还没发现的秘密。有没有样条是我们生成集中必须用到的?
是吗?
观众:琐碎的
伊丽莎白·D:……平凡样条。如果我想要一个生成集，我非常非常希望这个简单的样条在其中。我需要这个样条吗?我需要3 + c 10 + c和0吗?我可以擦掉一些东西来化简它吗?如果我只有3 10 0呢?正确的。如果我有这两条，我可以得到很多样条。我能得到所有的样条吗? Can anyone think of a spline, a labeling on these three vertices, that you cannot get taking a multiple of this, plus a multiple of this? Yeah, Thomas?
托马斯:那边的另一个
伊丽莎白·D:……另一个在这里。
托马斯:2、7、14。
另一个方向?
托马斯:对，对，对。
伊丽莎白D: 2岁，7岁，14岁。是的。对吧?你需要，这里的差值是10，或者是7，它是，但是这里的差值是10，它肯定不是。您可能希望将这三个作为发电集的可能候选。但实际上我要把第一个替换成一个更清晰的。我也要把这个替换掉。给你们看看我最喜欢的发电机组。因为很难想出这些并证明它们能产生。所以我肯定需要这个小样条。 The next one, I'm going to have five and twelve. And the last one I'm going to put two zeros and a twenty.
我的问题是，我擦掉了一大堆样条。你们能不能把我刚才擦掉的这些样条，你们都没写出来，所以你们都不知道它们是什么，作为这三条的z个线性组合?如果你用2乘以这个，再加上这个，就得到2 7 14。你乘以大的数你最终会得到一些其他的数。
好的。我的主张是，我不打算证明它但我要向你们挥手，这三条样条曲线构成了这个三角形的发电集。所以这个三角形，这个三角形上所有样条的集合，是一个秩为3的z模。
现在，我们需要知道什么我们实际上有一个发电集而且我们不能移走这些?我知道我们说过这不是一个向量空间，这也不是一组基，但也许我们可以用一些技巧。有人注意到什么吗?关于这三个的性质?那么，如果我们要找一组基我们需要哪两个性质?我们需要…是吗?
它不可能是其他元素的线性组合。
Elizabeth D:这些元素都不是线性组合或者其他元素的线性组合。还有别的事吗?
它涵盖了整个收藏。
伊丽莎白·D:它必须涵盖整个系列。这也是你想说的吗?我们必须证明它涵盖了整个集合。哪一个更容易证明?关于这个集合，哪个更容易证明呢?线性无关，还是生成空间?是的。为什么线性无关更简单?我们在这个例子中加入了什么?我们的音色全是零。 Right? This one in the middle has no zeros in it. This one have a zero at the bottom, this one has zero, zero and then a non-zero at the top.
所以我们有这个内建的上三角形，所以不可能有任何一个是其他的线性组合。它们是z线性无关的。事实上，它们是线性无关的如果你让场是r或c。
三角形的秩是3。我说的是我们已经回答了这个三角形的问题。三角形上所有的样条是什么?它们是这三条样条在z轴上的线性组合。
我们有了第一个定理。也就是边标记图上的代数样条的集合是一个r模。我在标题中多了一个词，我在这里加了一个约束条件，环r必须是交换的。乘法必须有效只要我有a乘以b，我也有b乘以a，你总是可以在任何一个方向上相乘。
关于如何将已有的样条集合转换为新的样条，还有一件事我们没有发现。我要证明代数样条的集合，在边标签图上，不仅仅是一个模，它还是一个环。这意味着我可以用两条样条做什么呢?戒指有什么特殊的性质?丹尼尔?
丹尼尔:你可以把它们乘起来?
伊丽莎白D:我可以把它们乘起来。我可以取两条样条，然后把它们相乘。我该怎么做呢?你能以任何交叉积的方式乘以它吗?我们不会做任何花哨的事情。我要说的是，如果你有一条边，它看起来就像a和b，它们的差在那个理想集合中。还有一个，c和d，通过b乘以d和a乘以c, ac和bd也有同样的性质，只要环是交换的。只要我可以在一个方向和相反的方向相乘，那么就总是相等的。好的。
这是一个很大的限制。作为一个数学家，你认为我的下一个问题会是什么?这对任何交换环都成立。那非交换环呢?如果我的环不像整数但它没有。它不像整数那样可以任意方向相乘，它更像一些其他类型的东西，它们相乘却不能交换。你不能重新排列顺序。
谁能想到一个环的例子，一堆东西的集合，你不能改变乘法的顺序?你可以听到人们低声说。我知道现在是傍晚。我看到后面有一只手。
观众:矩阵?
伊丽莎白D:矩阵。矩阵不能交换。你可以用一个矩阵乘以另一个矩阵。你不能改变顺序。所以这个夏天，我和三个学生;Dimitri, Charles和Gabrielle，他们[听不清]学院。迪米特里和查尔斯分别是四年级和二年级。我们正在研究这个问题，我们从矩阵的概念开始。如果你用完全相同的方式定义事物会发生什么。做一个图表，标注一些理想。 But maybe your ideals, and all of your vertex labels have to be matrices. They can't just be integers, and they can't just be polynomials. Polynomials also commute.
我们的想法是一样的。如果我们有一个图，我们有边标签，我们没有理由不能问这样一个问题，什么矩阵，我要把它们放在相同的顺序，a和b，有a - b等于子矩阵p乘以，例如，1,2,0,0。
那么，哪个2 × 2矩阵，a和b，有这个问题?如果我改变这个，如果我问a - b有什么矩阵，性质是有一些2 × 2矩阵。p乘以1 1 0 1等于它们的差值。有人能想出任意两个矩阵来满足第二个例子吗?(听不清)
三，三，零，三，二，二，零，二。
伊丽莎白D:好，3 3 0 3和2 2 0 2可以，因为这样我就可以得到单位矩阵乘以这个。这个矩阵有什么特别之处吗?终止符不为零。那么我们可以用这个矩阵做什么呢?
观众:(相声)倒过来。
伊丽莎白D:我们可以颠倒一下。事实上，对于任意一对矩阵，a和b，任意一对a和b都有这个性质。存在另一个矩阵p，使得p乘以1 1 0 1等于它们的差值。但在第一种情况下不是这样的。有时我们有正确的性质，有时我们没有。所以这两个同样的例子。三，三，零，三，-二，二，零，二，一，一，零，一。有没有任何矩阵p，任何2 × 2矩阵，你可以用，1,2,0,0，乘以p得到1,1,0,1 ?这可能吗?我们有一个关于这个矩阵的问题。 What do we know about this one already? What important property does it have that let us do what we did before?
观众:(相声)这是可逆的。
伊丽莎白D:这是可逆的。这个是可逆的。这个怎么样?它不是可逆的。我可以用一个不可逆的矩阵，和另一个矩阵碰撞，得到可逆的东西吗?不。我永远失去了这些信息。现在，我们还有一点时间，现在我让你的大脑思考一些奇怪的事情，来自于……当你拿走交换性的时候，我想让你回到我们学过的两个大定理。两大定理是样条环，解环。 er, the set of splines, the set of solutions, is a module. That theorem stays true. But no longer can we multiply them.
一旦我们失去了交换性，事情就开始崩溃了。有一个定理在某种程度上打破了代数样条的领域。所以不是实际的曲线，想象我们在看具体的代数。这是巴德大学教授劳伦·罗斯提出的定理。它说如果你有一个n个循环，就像那个3个循环的三角形，用理想值和整数标记，那么样条的集合就会是一个耙n的z模，你在中间的发电集中就会有和顶点一样的数。
事实上，这是可以扩展的大约五年前，史密斯学院的一群学生扩展了这一理论。不只是循环和n个顶点，而是n个顶点上的任何连通图。它仍然有秩和。
当n是数字-时
伊丽莎白·D:……当n是顶点数时。是的。当n是顶点个数时，对n进行排序。谢谢你，琳达。
那么，当我们不再有整数时，它还成立吗?答案是否定的。我们四个人今年夏天证明的一件事是，如果你想要一个非交换环那么你可以在图上建立一个边标记来得到任何秩。你可以构建一个边标记图，它只有普通样条。一个排名。你可以建立一个边标签图，在它的生成集中只有两条样条。你可以有一个每个顶点都有n个顶点。1为每个顶点生成它。
你也可以选择更大的。一旦我们不再是整数，也就是我们的主要理想域，那么你的理想就不再是有原则的，它们不再是有限生成的。
今年夏天我们证明的第二件事是，如果你观察主要生成的理想状态，这是否意味着我们只能有一个东西可以写出来，它是那个东西的所有倍数恰好相交于零。然后，如果我们用只相交于零的理想值标记n周期的所有边，我们就会在模块中损失一个维度。我们从在n个顶点上排名n的东西到排名n - 1的东西。我们如何选择这些标签并不重要。
我想给你们看的最后一件事，是这张图它实际上只是一个样条在- 2比1和- 2比1上。所以这个形状，虽然看起来很奇怪很酷，但它只是由这些2次的碎片组成的。现在你可以把它想象成一个代数图，这个图有9个顶点，9个区域，它们必须在边界上排列。y = 0时，y = - 1, x = 0 x = - 1。我们只用简单的多项式就得到了这个光滑的形状。
这就把我们的故事从不可交换的疯狂带回了动画和画曲线的角度。谢谢你们的参与，我知道今天从你们那里问出了很多答案，是的
